投稿内にボタンを追加したいということでしょうか（この場合は、こちらのトピック を参照してください）、それともDiscourseのインターフェースにある既存のボタンをカスタマイズしたいということでしょうか？
はい、ただし、Discourseのインターフェースにボタンを追加したい場合は、それは別の話であり、プログラミングが必要です。
ちなみに、動画の作成者が実際のコードへのリンクを一切貼っていないのが気になります（https://codepen.io のようなサイトは、このような作業に非常に役立ちます）。これはかなり高度なCSSであり、動画から手動でコピーするのは大変でしょう。
興味本位でインターネットで少し検索したところ、コードは彼らのウェブサイトで公開されていました。
Jayさんの返信に加えて、https://meta.discourse.org/t/make-css-changes-on-your-site/168101 も参照することをお勧めします。ウェブサイトのHTMLスタイルをカスタマイズするだけが目的なら、こちらの方が簡単かもしれません。
最後に、DiscourseフォーラムにはStyleguideという優れたプラグインがプリインストールされており、これを有効にすると、フォーラムのほぼすべての要素とその現在のスタイルが表示されます。
まず、Styleguideページを有効にします。
管理者パネル → プラグイン → Styleguide → 
設定 → styleguide enabled 
にチェックを入れます。
次に、Styleguideページにアクセスできます。フォーラムのURLに /styleguide を追加するだけで表示できます。
もしCSSやスタイリング全般についてあまり知識がないのであれば、このボタンプロジェクトに飛び込む前に、まず基本的なことを学ぶことを強くお勧めします。