Ich konnte die Nachricht mit etwas Javascript anpassen:
window.addEventListener("DOMContentLoaded", function(){
document.querySelector('.page-not-found .title').innerHTML = "NEUE NACHRICHT HIER";
});
Das Skript ersetzt das HTML, an dem sich “Ups! Diese Seite existiert nicht oder ist privat” befindet. Ich habe es nicht ausprobiert, aber theoretisch könnte man HTML hinzufügen, um ein Bild darzustellen.