Una solución rápida sería agregar un margen debajo del compositor de chat, no muy estético, pero los usuarios deberían poder alternar el cuadro de entrada.
También redimensioné la barra de pestañas, así que si alguien quisiera usar el CSS, debería usar la altura original de la barra de pestañas (pero olvidé cuánto es).
.chat-composer__wrapper {
margin-bottom: 35px
}