Hay dos cosas que podrías estar haciendo. Una es ampliar los recursos de tu servidor, algo que tu proveedor probablemente permite a través de una interfaz web. Los detalles dependerán de tu proveedor. La otra es utilizar almacenamiento externo, como S3 o un servicio compatible con S3. Creo que estos son inherentemente escalables (con precios según el uso), así que la pregunta sería sobre cómo migrar a un almacenamiento compatible con S3.
Si buscas cualquiera de estas opciones, encontrarás mucha orientación previa. O puedes usar ask.
Edición: quizás haya una tercera cosa que podrías estar haciendo, que es añadir un volumen de almacenamiento a tu servidor. Eso también depende del proveedor de alojamiento. Tal vez te interese ver Mover cargas y copias de seguridad a DigitalOcean Block Storage. Hetzner llama a esto Volumes.