タグが「タグは全員に表示されるが、使用できるのはスタッフのみ」という専用タググループに属している場合、「ユーザー設定」の「デフォルトで監視するタグ」で選択できません。
これは問題です。当サイトには「Announcement」というタグがあり、投稿を「Announcement」としてタグ付けできるのはスタッフのみですが、これを「監視対象」に設定できないからです。
回避策として、まずタグを作成し、制限付きタググループに含めない状態で「デフォルトで監視するタグ」に追加し、その後で制限付きタググループに割り当てる方法があります。
しかし、個人的にはこのような仕様であるべきではないと思います。
確認いたしましたが、ご報告いただいた問題を再現することはできませんでした。
最近、タグ権限を大幅に見直し、タググループを staff グループだけでなく任意のグループに所属できるようにしました（詳細は下記参照）。これにより、ご指摘の問題が解決している可能性があります。
再度お試しください。ご自身の環境で問題が解消しているかご報告いただけますでしょうか。