Je vous recommande d’opter pour une installation en sous-domaine pour des raisons évidentes. forum.example.com n’est pas si problématique lorsqu’il s’agit d’héberger un forum pour votre site web.
Vous pouvez également choisir la solution du sous-répertoire, comme l’a suggéré @pfaffman ci-dessus, mais dans les deux cas, vous devrez obtenir un serveur autre que votre compte HostGator.
Vous avez besoin de ce qu’on appelle un VPS avec accès root pour installer et gérer Discourse.
J’espère que cela vous sera utile.