Есть ли какое-либо открытое API для получения похожих тем в Discourse?

Похоже, это частное сообщество, поэтому неаутентифицированные запросы не вернут никаких данных. На Meta это работает с использованием https://meta.discourse.org/t/144806/2.json, поскольку контент доступен для публичного просмотра.

Дополнительную информацию об аутентификации ваших запросов с помощью api_key и api_username см. по ссылкам: Discourse REST API Documentation и Use the Discourse API ruby gem.