Resulta que la respuesta es mucho más simple de lo que piensas y probablemente debería estar en un documento para referencia futura.
Pasé todo el día trabajando para intentar que funcionaran tanto un componente de tema como un plugin para hacer lo que quería, sin éxito.
Luego, por diversión, miré los valores de los caracteres ASCII y elegí algunos valores bajos para poner delante de mis etiquetas. Pensé que sería un poco feo, pero al menos los tendría en el orden correcto.
Resulta que cuando usas caracteres no alfabéticos, permanecen con el término, pero no se muestran.
Así que en mi grupo de etiquetas Genus, usé la comilla simple con un valor de 39, y en mi grupo de etiquetas Species usé una coma con un valor de 44.
Esto hace que todos los términos Genus se ordenen antes que todos los términos Species, y luego las etiquetas adicionales son todas más altas ya que el alfabeto comienza con un valor de 65.
Para crear un término Genus, escribo 'Theraphosa y se muestra como Theraphosa, pero se muestra antes que mi Species de blondi creada como ,blondi, y ambos vienen antes de una etiqueta adicional de terrestrial, aunque alfabéticamente estaría entre esas dos palabras.
Espero que esto ayude a alguien más, y realmente espero que algún día Discourse cree el plugin que no pude.