Acontece que a resposta é muito mais simples do que você imagina e provavelmente deveria estar em um documento para referência futura.
Passei o dia todo trabalhando para fazer com que um componente de tema e um plugin funcionassem para fazer o que eu queria, sem sucesso.
Então, por diversão, olhei os valores dos caracteres ASCII e escolhi alguns valores baixos para colocar na frente das minhas tags. Achei que poderia ser um pouco feio, mas pelo menos eu os teria na ordem correta.
Acontece que, quando você usa caracteres não alfabéticos, eles permanecem com o termo, mas não são exibidos.
Então, no meu grupo de tags Genus, usei a aspa simples com o valor 39, e no meu grupo de tags Species, usei uma vírgula com o valor 44.
Isso faz com que todos os termos Genus sejam classificados antes de todos os termos Species, e então as tags adicionais são todas mais altas, já que o alfabeto começa com o valor 65.
Para criar um termo Genus, digito 'Theraphosa e ele é exibido como Theraphosa, mas é exibido antes da minha Species blondi criada como ,blondi, e ambos vêm antes de uma tag adicional terrestrial, mesmo que alfabeticamente isso ficasse entre essas duas palavras.
Espero que isso ajude mais alguém, e realmente espero que um dia o Discourse crie o plugin que eu não consegui.