Existe um endpoint para obter a URL do avatar do usuário?
Chame https://meta.discourse.org/u/falco.json e verifique .user.avatar_template
Verificado 
Então, não há um endpoint para obter o avatar. Preciso primeiro acessar as informações do usuário e, em seguida, criar algo para obter a URL da imagem com base em algum tamanho?
Eu esperava encontrar algo como /users/{user_id}/avatar.json.
Parece que sim. Que problema você está tentando resolver? Você quer usar o avatar do Discourse em outro site?
Sim, esse é exatamente o caso. Existem outros subdomínios com outros aplicativos e queremos usar o avatar do Discourse neles 
Se você colocar 1 no nome do arquivo, ele pega o mais recente. 100 é o tamanho. Pode ser qualquer valor
https//meta.discourse.org/user_avatar/meta.discourse.org/pastawhiskey/100/1.png