¿Algo como esto?
Creo que debería ser posible ocultando el componente page-not-found-search en la parte inferior con display: none y luego insertando el código del cuadro de búsqueda en la parte superior usando los puntos de conexión de complementos: Using Plugin Outlet Connectors from a Theme or Plugin
También podrías añadir algo de CSS para modificar el ancho del área de texto. Ten en cuenta que no he probado nada de esto realmente, solo lo he intentado directamente en la consola del navegador.
Este es el código para el cuadro de búsqueda:
<div class="row">
<div class="page-not-found-search-top">
<h2>Buscar en este sitio</h2>
<p>
</p><form action="/search" id="discourse-search">
<input type="text" name="q" value="">
<button class="btn btn-primary">Buscar</button>
</form>
<p></p>
</div>
</div>