Что-то вроде этого?
Думаю, это возможно: скрыть компонент page-not-found-search внизу с помощью display: none, а затем вставить код поля поиска вверху, используя точки расширения плагинов: Using Plugin Outlet Connectors from a Theme or Plugin
Также можно добавить немного CSS, чтобы изменить ширину текстового поля. Обратите внимание, что я не тестировал это всерьёз — просто попробовал напрямую в консоли браузера.
Вот код для поля поиска:
<div class="row">
<div class="page-not-found-search-top">
<h2>Поиск по сайту</h2>
<p>
</p><form action="/search" id="discourse-search">
<input type="text" name="q" value="">
<button class="btn btn-primary">Поиск</button>
</form>
<p></p>
</div>
</div>