Может ли пользователь без прав администратора сгенерировать свой собственный API-ключ?

Если это для GitHub Action, вам, скорее всего, лучше создать ключ API с ограниченными правами, который разрешает только необходимые действия, но да, для создания этого ключа вам потребуется права администратора.