Wenn ich versuche, meine Domain auf meine eigene Domain zu setzen, steht dort: Hostname nicht erlaubt.
Wie kann ich das beheben? Bekomme ich diesen Fehler, weil ich eine Testversion benutze?
Möglicherweise. Beziehen Sie sich auf das gehostete Management von Discourse (Discourse pricing | Discourse - Civilized Discussion)?
Ich bin mir nicht sicher, ob Sie Ihren benutzerdefinierten Domainnamen während der Testphase angeben können, selbst wenn Sie das Standard-Hosting (oder höher) testen. 
Ist das der eigentliche Grund oder gibt es ein anderes technisches Problem in Bezug darauf?
Ich habe die gleiche Herausforderung und bin auch in der Testphase, aber ich abonniere den Standardplan für 100$ pro Monat.