Как получить упоминания для конкретного пользователя через API?

Это будет https://meta.discourse.org/user_actions.json?offset=0&username=falco&filter=7, где falco — целевое имя пользователя.

Вы можете изучить эти конечные точки API в статье Как провести реверс-инжиниринг API Discourse.