Приношу извинения за создание темы.
Проблема заключалась в том, что моя среда разработки указывала на экземпляр Discourse по протоколу http, а не https.
После переключения на https-эндпоинт всё начало работать.
Я был сбит с толку, потому что некоторые API-эндпоинты работают через http, а этот — нет.
Для будущих читателей вот как я выхожу из системы пользователей с помощью C#:
var url = $"/admin/users/{user.user.id}/log_out";
using var formData = new MultipartFormDataContent{
{ new StringContent(_forumConfigModel.ApiKey), "api_key" },
{ new StringContent(_forumConfigModel.User), "api_username" }
};
var response = await _httpClient.PostAsync(url, formData);