OK、自分自身の質問への部分的な回答として、フォーラムでの無作為な試行錯誤から、
$ sudo apt-get install libmysqlclient-dev
を実行すると、mysql2 gem（それが何であれ）のインストールが可能になるようです。ただし、root 権限でこれを実行しないよう警告されていることは無視します。
その問題を乗り越えて次のステップに進むと、
$ bundle exec rails db:drop
と入力すると、別のエラーが発生します：
bundler: failed to load command: rails (/usr/local/bin/rails)
Gem::Exception: can’t find executable rails for gem railties. railties is not currently included in the bundle, perhaps you meant to add it to your Gemfile?
/usr/local/bin/を確認すると、確かに ‘rails’ という名前のファイルが存在しています。
sudo gem や gem install rails、あるいは $ sudo gem install rails を試してみても、このエラーに関する様々な提案に従っても改善されません。
さらに、通常の依存関係がすべて揃っているか確認するために、Ruby on Rails を最初から再インストールしました（https://www.digitalocean.com/community/tutorials/how-to-install-ruby-on-rails-with-rbenv-on-ubuntu-18-04）。バージョン 2.5.1 または 2.6.1 を使用しても状況は変わりません。
もう完全に手が届かない領域に来ています…