Хочу выразить благодарность и сказать спасибо @Arkshine за помощь до сих пор. Оказалось, что VPS не может достучаться до размещённого домена — поэтому почта не работает. Это довольно странно, но я связываюсь с хостинг-провайдером, чтобы разобраться. Буду держать в курсе.
Это оказалось довольно быстро и просто. Простой ping до размещённого домена из SSH-сессии на VPS, где запущен Discourse, показал, в чём дело. Посмотрим, как всё пойдёт.
РЕДАКТИРОВАНИЕ
Чуть не пожалел, что @Arkshine не ответил, чтобы я мог отметить это как решение. В любом случае — получил ответ от хостинг-провайдера. Оказалось, что их серверы автоматически заблокировали IP-адрес VPS из-за неудачных попыток SMTP. Не совсем понятно, что именно произошло — изменю настройки, проведу тесты снова и посмотрим. Должно быть всё в порядке: теперь размещённый IP доступен для ping с VPS. Проверил настройки почты — всё работает!
Надеюсь, эта информация кому-то пригодится. Если бы я мог отредактировать первое сообщение, то добавил бы краткую выжимку (TL;DR) — или можно просто перейти по ссылке к решению.
Ещё раз — большое спасибо @Arkshine за всю помощь. Так держать!