Discourseのバージョンが非常に古いので、アップデートを検討されているのは良いことです。
この古いバージョンからのアップデートを開始するには、まず現在のサイトをそのままバックアップし、安全な場所に保管してください。次に、新しいサーバーにDiscourseを新規インストールします。新しいDiscourseのインストールが完了したら、バックアップを復元し、すべてが正常に表示されることを確認してください。問題がなければ、DNS設定を変更して新しいサーバーを指すようにし、古いサーバーを廃止できます。
このバージョン以降、Zendesk連携はDiscourseのインストールにデフォルトで含まれるようになったため、現在の状態ではアップデートが提供されていません。
また、Zendeskが今後1年以内にAPIトークンによる認証機能を廃止予定であるため、アップデートは重要です。Managing API token access to the Zendesk API – Zendesk help
いいえ、現在使用されているバージョンはサポート対象外であり、アップデートも提供されていません。
はい、こちらにドキュメントがあります：Enabling Zendesk two-way synchronization
あなたは当社のホスティングを利用していないため（当社のホスティングではサイトを自動的にアップデートしています）、自分のサーバーでホスティングしている場合、アップデートにプランや支払いは不要です。
もし当社のホスティングに移行されたい場合は、team@discourse.orgまでご連絡ください。データの移行方法をご案内します。Zendeskプラグインを使用するにはBusinessプランが必要です。
すべてのZendeskプランでAPIアクセスが可能だと思いますが、レート制限は異なるため、必要なプランは使用状況によって異なります。