おっしゃる通り、これで私の問題が解決しました。以前のインストールでは動作していたようですが、新規インストール時に API キーの更新を忘れていたのだと思います。他の部分は正常に動作していたため、気づきませんでした。お手伝いいただき、本当にありがとうございます。
私の環境からの情報を追加します：
https://www.example.com/wp-login.php?action=logout を使用しています。
成功しました！
Discourse からログアウトし、WP/MP のログイン画面へリダイレクトされました。そのままログイン状態が維持されました。同じタブのアドレスバーに forum.thegearheadproject.com と入力しましたが、何も起こりませんでした。
パートナーにも試してもらい、確認してもらいます。追って報告します。
ありがとう、Simon。
これで解決したことが確認されました。ありがとう、@simon。