Я только что обновил ключи API, используемые на Meta, и пересобрал OP. Теперь твиты корректно встраиваются здесь (а также для клиентов на нашем хостинге). Однако проблемы, упомянутые в OP, по-прежнему актуальны для тех, кто использует самостоятельное размещение.
Один из альтернативных вариантов — загрузка нативных встраиваний Twitter; см. этот компонент темы.