Перечитываю…
Я забыл про блок cache и предполагал, что запрос будет отправляться на сервер при каждом обращении, поэтому думал, что также сработает fetch на стороне клиента.
Вместо этого можно реализовать так: удалённый сервер будет отправлять контент в раздел HTML Footer компонента темы.