¿Cómo puedo obtener el mensaje "¿Instalar aplicación?" para mi Discourse?

Busca native app install banner en tu configuración y actívalos cuando quieras.
EDITA: ver abajo

¿Es posible activar esta notificación para ver cómo aparece “en vivo”?
Habilité la opción en mi foro y la abrí en Android, pero no vi nada.

Esto es incorrecto. «Native» se refiere a los banners de instalación para Android/iOS de DiscourseHub. Esto es la instalación de PWA para escritorio.

Esa opción está habilitada por defecto en cada instalación estándar de Discourse.

Eso no es una notificación y un sitio web no puede controlarlo. Aparecerá en la barra de direcciones cuando se visite un sitio compatible suficientes veces. Por el momento, solo Google Chrome y Microsoft Edge tienen esta función en el escritorio.