設定をもう少し詳しく見て、関連するものを探ってみました：
管理者の誰かが、可視性を「全員」から「ログイン中のユーザー」に変更したと思います。
そして現在、「ユーザーがメンバーシップを送信できるようにする」がチェックされていますが、無効になっています。
別のグループ（ログイン中のユーザーにのみ表示される）を見ると、
「ユーザーがメンバーシップリクエストを送信できるようにする」は無効で、チェックされていません。
これが問題の原因でしょうか？ログイン中のユーザーにのみ表示されるグループに対してメンバーシップリクエストを送信できないのは、想定された動作なのでしょうか？