この問題の解決策を探している方のために——私は解決しました。以下の投稿が非常に役立ちました：How to get Discourse to work with Postfix - #11 by shu_kaze - Linux - Level1Techs Forums
問題は、Discourse が Docker 環境から Postfix サーバーに接続できなかったことです。技術的には、接続は別のネットワークから行われるため、Postfix の許可ネットワークリストにそのネットワークが含まれていませんでした。Postfix の設定にある mynetworks に Docker ネットワーク（私の場合は 172.17.0.0/16）を追加するだけで動作するようになります。
まず、Docker から Postfix への接続自体が可能か確認する必要があります（Postfix での「許可されたネットワーク」チェックが実行される前に、接続が確立できるかどうか）。また、inet_interfaces の設定も確認してください。Discourse が Docker 内で動作するため、localhost では機能しないため、私は all を設定しました。
それでも動作しない場合は、Postfix のログを確認してください。私の場合は /var/log/mail.log ファイルにあります。
この情報が将来誰かの役に立てば幸いです。動作させるまでに長い日数を要しましたが、今では有料のメールサービスに依存せずに無料で運用できています（ドメインに SPF レコードを追加することを忘れないでください。そうしないと、Gmail や他のメールプロバイダーがメールをブロックし、スパムフォルダにも入らず、配信されないままになります）。