Как автоматически назначить бейдж сразу после добавления пользователя в группу?

Плагин automation может добавлять пользователей в группу при назначении бейджа (подробнее). Но это противоположно тому, что вы просите. Думаю, вам придется создать пользовательский запрос для бейджа.