Возможно ли использовать Discourse в качестве платформы для частных обсуждений? То есть, чтобы читать сообщения можно было только после регистрации?
Да.
Вы можете заблокировать весь форум с помощью настройки сайта login_required или заблокировать отдельные категории в их настройках.
Да, это простой шаг настройки в мастере настройки нового сайта, который запускается после установки.