Есть ли возможность установить требуемый уровень пользователя для перемещения категории в другую категорию? Или можно просто отключить возможность перемещения темы, если вы не администратор или модератор?
Не совсем. Возможно, стоит почитать о уровнях доверия в Discourse. Уровень доверия 3 позволяет перемещать темы по категориям.
Спасибо, @MarcP. Я знаю, что TL >= 3 может перекатегоризировать, но это не то, что мне нужно. Подойдёт TL4 или полное отключение функции перекатегоризации.
Сейчас вы не можете этого сделать.
Тогда это запрос на новую функцию 
Или я займусь этим в выходные.
Вы можете изменить настройки, чтобы установить уровень доверия 3 так, чтобы никто не мог его достичь. Без TL3 никто, кроме сотрудников, не сможет перекатегоризировать темы. Затем вы можете назначить TL4 пользователям, которым хотите разрешить перемещать темы между категориями.
Да, это можно сделать, отключив настройку сайта «Надёжные пользователи могут редактировать чужие сообщения». См. Что делает настройка «Надёжные пользователи могут редактировать чужие сообщения»? для подробностей о данной настройке.
Небольшое обновление по этому вопросу: теперь у нас есть несколько отдельных настроек, которые можно включить для групп, чтобы обеспечить более гибкий контроль. 
edit all topics groups позволяет указанным группам переименовывать, тегировать и перекатегоризировать темы. Например, если изменить это значение только на «администраторы», вы сможете ограничить доступ к этим действиям для пользователей уровня TL3. 
А edit all posts groups определяет группы, имеющие глобальную возможность редактировать сообщения (по умолчанию это уровень TL4).