Спасибо @Falco и @Stephen — всё сработало! 
По крайней мере, на Android.
Где и как я могу увидеть кнопку или функцию установки в iOS? Я проверил Safari и Chrome, а также меню, но ничего там не нашёл.
Кстати, не стоит ли добавить в описание логотипа манифеста информацию о том, что он должен быть в формате PNG?