Быстрое решение — добавить отступ снизу под область ввода чата: не очень красиво, но пользователи смогут переключать поле ввода.
Я также изменил размер вкладки, так что если кто-то захочет использовать CSS, следует ориентироваться на исходную высоту вкладки (но я забыл, какая она была).
.chat-composer__wrapper {
margin-bottom: 35px
}